UP Board Class 10 Math Formula | यूपी बोर्ड में कक्षा 10वीं के फार्मूला

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यहां कुछ UP Board Class 10 Math Formula के महत्वपूर्ण सूत्र दिए गए हैं, जिन्हें आपको UP Board के Class 10 Math के लिए अति आवश्यक है:

द्विघात समीकरण:

द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 द्वारा दिया जाता है, जहाँ a, b और c स्थिरांक हैं।

अंकगणितीय प्रगति:

अंकगणितीय प्रगति का nवाँ पद a = a + (n – 1)d द्वारा दिया जाता है, जहाँ a पहला पद है, d सार्व अंतर है और n पदों की संख्या है।

त्रिभुज:

त्रिभुज का क्षेत्रफल A = 1/2 x आधार x ऊँचाई द्वारा दिया जाता है। पाइथागोरस प्रमेय कहता है कि एक समकोण त्रिभुज में, कर्ण की लंबाई का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है।

त्रिकोणमिति:

एक समकोण त्रिभुज में, sinθ = लंबवत/कर्ण, cosθ = आधार/कर्ण, और tanθ = लंबवत/आधार।

पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन:

एक घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल 6a² द्वारा दिया जाता है, जहाँ a एक भुजा की लंबाई है। एक घन का आयतन V = a³ द्वारा दिया जाता है। एक गोले का सतह क्षेत्र 4πr² द्वारा दिया जाता है, और गोले का आयतन V = 4/3πr³ द्वारा दिया जाता है।

प्रायिकता:

किसी घटना के घटित होने की प्रायिकता अनुकूल परिणामों की संख्या को परिणामों की कुल संख्या से विभाजित करने पर प्राप्त होती है।

समतल आकृतियों का क्षेत्रफल:

एक आयत का क्षेत्रफल A = lxw द्वारा दिया जाता है, जहाँ l लंबाई है और w चौड़ाई है। समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल A = bxh द्वारा दिया जाता है, जहाँ b आधार है और h ऊँचाई है। त्रिभुज का क्षेत्रफल A = 1/2 xbxh द्वारा दिया जाता है, जहाँ b आधार है और h ऊँचाई है। एक ट्रेपेज़ियम का क्षेत्रफल A = 1/2 x (a + b) xh द्वारा दिया जाता है, जहाँ a और b समानांतर भुजाएँ हैं और h उनके बीच की दूरी है।

वृत्त:

एक वृत्त की परिधि C = 2πr द्वारा दी गई है, जहाँ r त्रिज्या है। एक वृत्त का क्षेत्रफल A = πr² द्वारा दिया जाता है।

रैखिक समीकरण:

एक चर में एक रैखिक समीकरण ax + b = c के रूप का होता है, जहाँ a, b और c स्थिरांक होते हैं, और x चर होता है। इस समीकरण का हल x = (c – b)/a है।

निर्देशांक ज्यामिति:

एक तल में दो बिंदुओं के बीच की दूरी दूरी सूत्र द्वारा दी जाती है: d = √((x₂ – x₁)² + (y₂ – y₁)²), जहां (x₁, y₁) और (x₂, y₂) हैं दो बिंदुओं के निर्देशांक।

सांख्यिकी:

n संख्याओं के एक सेट का माध्य सूत्र द्वारा दिया जाता है: माध्य = (संख्याओं का योग)/n। n संख्याओं के एक सेट का मानक विचलन सूत्र द्वारा दिया जाता है: σ = √((Σ(x – μ)²)/n), जहां x सेट में प्रत्येक मान है, μ माध्य है, और Σ माध्य है योग चिह्न।

Table of Contents

UP Board Class 10 Math Formula – Arithmetic Formula (अंकगणित फार्मूला)

(a+b)²= a²+ b²+ 2ab
(a-b)²= a²+ b²– 2ab
(a+b) (a-b) = a²– b²
(x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab
(x + a)(x – b) = x² + (a – b)x – ab
(x – a)(x + b) = x² + (b – a)x – ab
(x – a)(x – b) = x² – (a + b)x + ab
(a + b)³ = a³ + b³ + 3ab(a + b)
(a – b)³ = a³ – b³ – 3ab(a – b)
(x + y + z)² = x² + y² + z² + 2xy + 2yz + 2xz
(x + y – z)² = x² + y² + z² + 2xy – 2yz – 2xz
(x – y + z)² = x² + y² + z² – 2xy – 2yz + 2xz
(x – y – z)² = x² + y² + z² – 2xy + 2yz – 2xz
x³ + y³ + z³ – 3xyz = (x + y + z)(x² + y² + z² – xy – yz -xz)
x²+ y² =½ [(x + y)² + (x – y)²]
(x + a) (x + b) (x + c) = x³ + (a + b +c)x² + (ab + bc + ca)x + abc
x³ + y³= (x + y) (x² – xy + y²)
x³ – y³ = (x – y) (x² + xy + y²)
x² + y² + z² -xy – yz – zx = ½ [(x-y)² + (y-z)² + (z-x)²]

UP Board Class 10 Trigonometry Formula (त्रिकोणमिति फार्मूला)

साइन थीटा का सम्बन्ध:

एक त्रिभुज में, साइन थीटा उसके विरुद्ध कटिबद्ध वर्तुल की ऊंचाई का अनुपात होता है। इसे साधारण रूप से sinθ = पर्याप्त/हाइपोटेन्यूस रूप में लिखा जाता है।

कोसाइन थीटा का सम्बन्ध:

कोसाइन थीटा एक त्रिभुज में निकटतम कटिबद्ध वर्तुल से उसके समानतलीय सीधे का अनुपात होता है। इसे साधारण रूप से cosθ = आधार/हाइपोटेन्यूस रूप में लिखा जाता है।

टैन थीटा का सम्बन्ध:

टैन थीटा एक त्रिभुज में पर्याप्त वर्तुल से उसके विरुद्ध कटिबद्ध वर्तुल के अनुपात का अनुपात होता है। इसे साधारण रूप से tanθ = पर्याप्त/आधार रूप में लिखा जाता है।

बहुभुज के कोणों का योग:

एक बहुभुज में, कुल कोणों की संख्या एक कम होती है जितनी विशिष्ट संख्या के बहुभुज के भुज होते हैं। इसलिए, न के भुजों वाले बहुभुज के कुल कोणों की संख्या (n-2) × 180 डिग्री होती है।

प्याथागोरस का थैरम:

यह एक उपयोगी समीकरण है जो सीधे कोण त्रिभुज के समानतलीय भुजों के चौड़े पर्याप्त और विरुद्ध कटिबद्ध वर्तुल के बीच संबंध को निर्दिष्ट करता है। अगर ए और ब दोनों बहुभुज के भुज होते हैं और c उनकी विरुद्ध अतिरिक्त भुज होती है, तो a² + b² = c² होता है।

त्रिभुज के दो बाहुओं के बीच का कोण:

दो बाहुओं के बीच का कोण कोसाइन नियम के उपयोग से निर्णय किया जा सकता है। यदि a, b, c एक त्रिभुज के तीन बाहु हों, तो उनके बीच का कोण थीटा उस विशिष्ट समीकरण के द्वारा निर्णय किया जा सकता है। cosθ = (a² + b² – c²)/2ab

Trigonometric Ratios (त्रिकोणमितिय अनुपात)

sinθ × Cosecθ = 1
sinθ = 1 / Cosecθ
Cosecθ = 1 / sinθ
Cosθ × Secθ = 1
Cosθ = 1 / Secθ
Secθ = 1 / Cosθ
Tanθ × Cotθ = 1
Tanθ = 1 / Cotθ
Cotθ = 1 / Tanθ
Tanθ = sinθ / Cosθ
Cotθ = Cosθ / sinθ

त्रिकोणमितिय टेबल (Trigonometric Table)

संकेत	0°	30° = π/6	45° = π/4	60° = π/3	90° = π/2
ट्रिक्स	√(0/4)	√(1/4)	√(2/4)	√(3/4)	√(4/4)
Sin θ	0	½	1/√2	√3/2	1
Cos θ	1	√3/2	1/√2	½	0
Tan θ	0	1/√3	1	√3	अपरिभाषित
Cot θ	अपरिभाषित	√3	1	1/√3	0
Sec θ	1	2/√3	√2	2	अपरिभाषित
Cosec θ	अपरिभाषित	2	√2	2/√3	1

UP Board Class 10 Mensuration Formula (क्षेत्रमिति फार्मूला)

वृत्त का क्षेत्रफल	πr² या πd²/4
वृत्त की त्रिज्या, r	√(क्षेत्रफल / π)
वृताकार वलय का क्षेत्रफल	π (R² – r²)
अर्द्धवृत्त की परिधि	( π r + 2 r )
अर्द्धवृत्त का क्षेत्रफल	1/2πr²
त्रिज्याखण्ड का क्षेत्रफल	θ/360° × πr²
चाप की लम्बाई	θ/360° × 2πr
त्रिज्याखण्ड की परिमिति	2r + πrθ/180°
वृतखण्ड का क्षेत्रफल	(πθ/360° – 1/2 sinθ)r²
बेलन का आयतन	πr²h
बेलन का वक्रपृष्ठ का क्षेत्रफल	2πrh
बेलन का सम्पूर्ण पृष्ठ का क्षेत्रफल	2πr ( h + r )
शंकु का आयतन	1/3 πr²h
शंकु के वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल	πrl
शंकु के सम्पूर्ण पृष्ठ का क्षेत्रफल	πr ( l + r )
गोले का वक्रपृष्ठ का क्षेत्रफल	4πr²
गोला का आयतन	4/3 πr³
गोलीय शेल का आयतन	4/3 π ( R³ – r³ )
समबाहु त्रिभुजा का क्षेत्रफल	(√3)/4 × भुजा²
समद्विबाहु त्रिभुज का शीर्षलम्ब	a / 4 b √ (4b² – a²)
समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल	A = ½ × आधार × ऊँचाई
घन का आयतन	भुजा × भुजा × भुजा = a³
घन का परिमाप	4 a²
आयत का परिमाप	2(लम्बाई + चौड़ाई)
आयत का विकर्ण	√(लंबाई² + चौड़ाई²)
वर्ग की परिमाप	4 × a
वर्ग का क्षेत्रफल	(भुजा × भुजा) = a²
वर्ग का विकर्ण	एक भुजा × √2 = a × √2
आयत का क्षेत्रफल	लंबाई ×चौड़ाई

घात और घातांक से सम्बंधित फार्मूला (Formula for Exponent)

p^mx pⁿ= p^m+n
{p^m}⁄{pⁿ} = p^m-n
(p^m)ⁿ= p^mn
p^-m = 1/p^m
p¹ = p
P⁰= 1

समनांतर श्रेढ़ी फार्मूला (Parallel series Formula

समान्तर श्रेढ़ी एक ऐसा अनुक्रम या श्रेणी है जिसमे प्रथम पद के अतिरिक्त प्रत्येक पद उससे पूर्व पद में एक निश्चित संख्या जोड़ने या घटाने पर प्राप्त होता है. जैसे; a₁, a₂, a₃, a₄, a₅, a₆……a_n

AP के प्रथम पद को a₁, दुसरे पद को a₂, …… nवें पद को a_n तथा सार्व अंतर को d से व्यक्त करते है.

प्रथम पद में d जोड़कर AP प्राप्त किया जा सकता है. जैसे:- a, a + d, a + 2d, a + 3d,….. आदि.

nवाँ पद, a_n = a – (n-1)d

A.P के प्रथम nपदों का योग

s_n = n/2(2a + (n-1)d)

अर्थात s_n = n/2(a + a_n) या s_n = n/2(a + l), जहाँ, a = प्रथम पद, l अंतिम पद है.

निर्देशांक ज्यामिति फार्मूला (Co Ordinate Geometry Formula)

निर्देशांक ज्यामिति में कई फार्मूले होते हैं, जिनका उपयोग विभिन्न गणितीय समस्याओं को हल करने के लिए किया जाता है। यहां कुछ महत्वपूर्ण फार्मूले हैं:

दो बिंदुओं के बीच दूरी की गणना:

यदि (x₁, y₁) और (x₂, y₂) दो बिंदुओं के निर्देशांक हैं, तो उनके बीच की दूरी D का गणना निम्नलिखित फार्मूले से की जा सकती है: D = √[(x₂ – x₁)² + (y₂ – y₁)²]

बिंदु का मध्यबिंदु:

यदि (x₁, y₁) और (x₂, y₂) दो बिंदुओं के निर्देशांक हैं, तो उनके बीच का मध्यबिंदु M का निर्देशांक निम्नलिखित फार्मूले से प्राप्त किया जा सकता है: M = ((x₁ + x₂) / 2, (y₁ + y₂) / 2)

दो बिंदुओं के बीच सीधी रेखा की समीकरण:

यदि (x₁, y₁) और (x₂, y₂) दो बिंदुओं के निर्देशांक हैं, तो सीधी रेखा की समीकरण y = mx + c होती है, जहां: m = (y₂ – y₁) / (x₂ – x₁) है और c = y₁ – mx₁