UP Board Class 10 Math Formula | यूपी बोर्ड में कक्षा 10वीं के फार्मूला

यहां कुछ UP Board Class 10 Math Formula के महत्वपूर्ण सूत्र दिए गए हैं, जिन्हें आपको UP Board के Class 10 Math के लिए अति आवश्यक है:

द्विघात समीकरण:

द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 द्वारा दिया जाता है, जहाँ a, b और c स्थिरांक हैं।

अंकगणितीय प्रगति:

अंकगणितीय प्रगति का nवाँ पद a = a + (n – 1)d द्वारा दिया जाता है, जहाँ a पहला पद है, d सार्व अंतर है और n पदों की संख्या है।

त्रिभुज:

त्रिभुज का क्षेत्रफल A = 1/2 x आधार x ऊँचाई द्वारा दिया जाता है। पाइथागोरस प्रमेय कहता है कि एक समकोण त्रिभुज में, कर्ण की लंबाई का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है।

त्रिकोणमिति:

एक समकोण त्रिभुज में, sinθ = लंबवत/कर्ण, cosθ = आधार/कर्ण, और tanθ = लंबवत/आधार।

पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन:

एक घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल 6a² द्वारा दिया जाता है, जहाँ a एक भुजा की लंबाई है। एक घन का आयतन V = a³ द्वारा दिया जाता है। एक गोले का सतह क्षेत्र 4πr² द्वारा दिया जाता है, और गोले का आयतन V = 4/3πr³ द्वारा दिया जाता है।

प्रायिकता:

किसी घटना के घटित होने की प्रायिकता अनुकूल परिणामों की संख्या को परिणामों की कुल संख्या से विभाजित करने पर प्राप्त होती है।

समतल आकृतियों का क्षेत्रफल:

एक आयत का क्षेत्रफल A = lxw द्वारा दिया जाता है, जहाँ l लंबाई है और w चौड़ाई है। समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल A = bxh द्वारा दिया जाता है, जहाँ b आधार है और h ऊँचाई है। त्रिभुज का क्षेत्रफल A = 1/2 xbxh द्वारा दिया जाता है, जहाँ b आधार है और h ऊँचाई है। एक ट्रेपेज़ियम का क्षेत्रफल A = 1/2 x (a + b) xh द्वारा दिया जाता है, जहाँ a और b समानांतर भुजाएँ हैं और h उनके बीच की दूरी है।

वृत्त:

एक वृत्त की परिधि C = 2πr द्वारा दी गई है, जहाँ r त्रिज्या है। एक वृत्त का क्षेत्रफल A = πr² द्वारा दिया जाता है।

रैखिक समीकरण:

एक चर में एक रैखिक समीकरण ax + b = c के रूप का होता है, जहाँ a, b और c स्थिरांक होते हैं, और x चर होता है। इस समीकरण का हल x = (c – b)/a है।

निर्देशांक ज्यामिति:

एक तल में दो बिंदुओं के बीच की दूरी दूरी सूत्र द्वारा दी जाती है: d = √((x₂ – x₁)² + (y₂ – y₁)²), जहां (x₁, y₁) और (x₂, y₂) हैं दो बिंदुओं के निर्देशांक।

सांख्यिकी:

n संख्याओं के एक सेट का माध्य सूत्र द्वारा दिया जाता है: माध्य = (संख्याओं का योग)/n। n संख्याओं के एक सेट का मानक विचलन सूत्र द्वारा दिया जाता है: σ = √((Σ(x – μ)²)/n), जहां x सेट में प्रत्येक मान है, μ माध्य है, और Σ माध्य है योग चिह्न।

UP Board Class 10 Math Formula – Arithmetic Formula (अंकगणित फार्मूला)

• (a+b)² = a² + b² + 2ab
• (a-b)² = a² + b² – 2ab
• (a+b) (a-b) = a² – b²
• (x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab
• (x + a)(x – b) = x² + (a – b)x – ab
• (x – a)(x + b) = x² + (b – a)x – ab
• (x – a)(x – b) = x² – (a + b)x + ab
• (a + b)³ = a³ + b³ + 3ab(a + b)
• (a – b)³ = a³ – b³ – 3ab(a – b)
• (x + y + z)² = x² + y² + z² + 2xy + 2yz + 2xz
• (x + y – z)² = x² + y² + z² + 2xy – 2yz – 2xz
• (x – y + z)² = x² + y² + z² – 2xy – 2yz + 2xz
• (x – y – z)² = x² + y² + z² – 2xy + 2yz – 2xz
• x³ + y³ + z³ – 3xyz = (x + y + z)(x² + y² + z² – xy – yz -xz)
• x² + y² =½ [(x + y)² + (x – y)²]
• (x + a) (x + b) (x + c) = x³ + (a + b +c)x² + (ab + bc + ca)x + abc
• x³ + y³= (x + y) (x² – xy + y²)
• x³ – y³ = (x – y) (x² + xy + y²)
• x² + y² + z² -xy – yz – zx = ½ [(x-y)² + (y-z)² + (z-x)²]

UP Board Class 10 Trigonometry Formula (त्रिकोणमिति फार्मूला)

साइन थीटा का सम्बन्ध:

एक त्रिभुज में, साइन थीटा उसके विरुद्ध कटिबद्ध वर्तुल की ऊंचाई का अनुपात होता है। इसे साधारण रूप से sinθ = पर्याप्त/हाइपोटेन्यूस रूप में लिखा जाता है।

कोसाइन थीटा का सम्बन्ध:

कोसाइन थीटा एक त्रिभुज में निकटतम कटिबद्ध वर्तुल से उसके समानतलीय सीधे का अनुपात होता है। इसे साधारण रूप से cosθ = आधार/हाइपोटेन्यूस रूप में लिखा जाता है।

टैन थीटा का सम्बन्ध:

टैन थीटा एक त्रिभुज में पर्याप्त वर्तुल से उसके विरुद्ध कटिबद्ध वर्तुल के अनुपात का अनुपात होता है। इसे साधारण रूप से tanθ = पर्याप्त/आधार रूप में लिखा जाता है।

बहुभुज के कोणों का योग:

एक बहुभुज में, कुल कोणों की संख्या एक कम होती है जितनी विशिष्ट संख्या के बहुभुज के भुज होते हैं। इसलिए, न के भुजों वाले बहुभुज के कुल कोणों की संख्या (n-2) × 180 डिग्री होती है।

प्याथागोरस का थैरम:

यह एक उपयोगी समीकरण है जो सीधे कोण त्रिभुज के समानतलीय भुजों के चौड़े पर्याप्त और विरुद्ध कटिबद्ध वर्तुल के बीच संबंध को निर्दिष्ट करता है। अगर ए और ब दोनों बहुभुज के भुज होते हैं और c उनकी विरुद्ध अतिरिक्त भुज होती है, तो a² + b² = c² होता है।

त्रिभुज के दो बाहुओं के बीच का कोण:

दो बाहुओं के बीच का कोण कोसाइन नियम के उपयोग से निर्णय किया जा सकता है। यदि a, b, c एक त्रिभुज के तीन बाहु हों, तो उनके बीच का कोण थीटा उस विशिष्ट समीकरण के द्वारा निर्णय किया जा सकता है। cosθ = (a² + b² – c²)/2ab

Trigonometric Ratios (त्रिकोणमितिय अनुपात)

• sinθ × Cosecθ = 1
• sinθ = 1 / Cosecθ
• Cosecθ = 1 / sinθ
• Cosθ × Secθ = 1
• Cosθ = 1 / Secθ
• Secθ = 1 / Cosθ
• Tanθ × Cotθ = 1
• Tanθ = 1 / Cotθ
• Cotθ = 1 / Tanθ
•  Tanθ = sinθ / Cosθ
• Cotθ = Cosθ / sinθ

त्रिकोणमितिय टेबल (Trigonometric Table)

UP Board Class 10 Mensuration Formula (क्षेत्रमिति फार्मूला)

घात और घातांक से सम्बंधित फार्मूला (Formula for Exponent)

• p^m x pⁿ = p^m+n
• {p^m}⁄{pⁿ} = p^m-n
• (p^m)ⁿ = p^mn
• p^-m = 1/p^m
• p¹ = p
• P⁰ = 1

समनांतर श्रेढ़ी फार्मूला (Parallel series Formula

समान्तर श्रेढ़ी एक ऐसा अनुक्रम या श्रेणी है जिसमे प्रथम पद के अतिरिक्त प्रत्येक पद उससे पूर्व पद में एक निश्चित संख्या जोड़ने या घटाने पर प्राप्त होता है. जैसे; a₁, a₂, a₃, a₄, a₅, a₆……a_n

AP के प्रथम पद को a₁, दुसरे पद को a₂, …… nवें पद को a_n तथा सार्व अंतर को d से व्यक्त करते है.

प्रथम पद में d जोड़कर AP प्राप्त किया जा सकता है. जैसे:- a, a + d, a + 2d, a + 3d,….. आदि.

nवाँ पद, a_n = a – (n-1)d

A.P के प्रथम nपदों का योग

s_n = n/2(2a + (n-1)d)

अर्थात s_n = n/2(a + a_n) या s_n = n/2(a + l), जहाँ, a = प्रथम पद, l अंतिम पद है.

निर्देशांक ज्यामिति फार्मूला (Co Ordinate Geometry Formula)

निर्देशांक ज्यामिति में कई फार्मूले होते हैं, जिनका उपयोग विभिन्न गणितीय समस्याओं को हल करने के लिए किया जाता है। यहां कुछ महत्वपूर्ण फार्मूले हैं:

दो बिंदुओं के बीच दूरी की गणना:

यदि (x₁, y₁) और (x₂, y₂) दो बिंदुओं के निर्देशांक हैं, तो उनके बीच की दूरी D का गणना निम्नलिखित फार्मूले से की जा सकती है: D = √[(x₂ – x₁)² + (y₂ – y₁)²]

बिंदु का मध्यबिंदु:

यदि (x₁, y₁) और (x₂, y₂) दो बिंदुओं के निर्देशांक हैं, तो उनके बीच का मध्यबिंदु M का निर्देशांक निम्नलिखित फार्मूले से प्राप्त किया जा सकता है: M = ((x₁ + x₂) / 2, (y₁ + y₂) / 2)

दो बिंदुओं के बीच सीधी रेखा की समीकरण:

यदि (x₁, y₁) और (x₂, y₂) दो बिंदुओं के निर्देशांक हैं, तो सीधी रेखा की समीकरण y = mx + c होती है, जहां: m = (y₂ – y₁) / (x₂ – x₁) है और c = y₁ – mx₁

सांख्यिकी फार्मूला (Statistic Formulas)

संचार क्षेत्र:

वाणिज्यिक एवं आर्थिक संख्याएं देखने के लिए संचार क्षेत्र का उपयोग होता है। संचार क्षेत्र को निम्नलिखित फार्मूले से गणना किया जा सकता है:

माध्य (Median) = वर्गीकृत आदान (N+1)/2 वां

आदान प्रचलितता (Mode) = आदान जिसकी संख्या सबसे अधिक होती है

मानक विचलन (Standard Deviation) = √[(∑(xᵢ – x̄)²)/N]

समीकरण:

विभाजन (क्वार्टाइल, परसेंटाइल) की सामग्री को देखने के लिए समीकरण का उपयोग होता है। समीकरण को निम्नलिखित फार्मूले से गणना किया जा सकता है:

व्यास (Range) = अधिकतम मान – न्यूनतम मान

प्रथम क्वार्टाइल (First Quartile) = वर्गीकृत आदान (N+1)/4 वां आदान

तीसरा क्वार्टाइल (Third Quartile) = वर्गीकृत आदान 3(N+1)/4 वां आदान

परसेंटाइल (Percentile) = वर्गीकृत आदान (k(N+1))/100 वां आदान (k यहां परसेंटाइल की संख्या है)

संबंध:

आंतरदंडीय संबंध (Correlation) और विसंगति (Covariance) की माप करने के लिए संबंध फार्मूला का उपयोग होता है:

संबंध (Correlation) = (∑(xᵢ – x̄)(yᵢ – ȳ)) / (√[∑(xᵢ – x̄)²] √[∑(yᵢ – ȳ)²])

विसंगति (Covariance) = (∑(xᵢ – x̄)(yᵢ – ȳ)) / N

प्रायिकता फार्मूला (Probability Formulas)

सरल प्रायिकता (Simple Probability):

किसी घटना के होने की संभावना (P) को निम्नलिखित फार्मूले से गणना किया जा सकता है: P = (उचित आदान की संख्या) / (कुल संभावित आदान की संख्या)

संयुक्त प्रायिकता (Joint Probability):

दो या दो से अधिक घटनाओं के संयुक्त होने की संभावना (P) को निम्नलिखित फार्मूले से गणना किया जा सकता है: P(A और B) = P(A) × P(B|A)

समावेशी प्रायिकता (Conditional Probability):

एक घटना हो जाने पर दूसरी घटना के होने की संभावना (P) को निम्नलिखित फार्मूले से गणना किया जा सकता है: P(A|B) = (P(A और B)) / P(B)

विपरीत प्रायिकता (Complementary Probability):

किसी घटना के होने की विपरीत संभावना (P) को निम्नलिखित फार्मूले से गणना किया जा सकता है: P(A’) = 1 – P(A)